《復數(shù)的三角表示》復數(shù)PPT課件(復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義)

《復數(shù)的三角表示》復數(shù)PPT課件(復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義)

第一部分內(nèi)容：內(nèi)容標準

1.了解復數(shù)乘、除運算的三角表示．

2.了解復數(shù)乘、除運算的幾何意義．

3.會利用復數(shù)三角形式進行復數(shù)乘、除運算.

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復數(shù)的三角表示PPT，第二部分內(nèi)容：課前 • 自主探究

[教材提煉]

知識點一　復數(shù)三角形式的乘法、除法法則

預習教材，思考問題

若復數(shù)z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根據(jù)復數(shù)的乘法運算計算z1z2，并將結果表示成三角形式嗎？

知識梳理　設復數(shù)z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，

z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2.

知識點二　復數(shù)三角形式的乘法、除法幾何意義

知識梳理　復數(shù)z1，z2對應的向量分別為OZ1→，OZ2→

①復數(shù)乘法的幾何意義：

兩個復數(shù)z1，z2相乘時，如圖，把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼腳_____倍，得到向量OZ→，OZ→表示的復數(shù)就是______ .這是復數(shù)乘法的幾何意義．

②復數(shù)除法的幾何意義：

兩個復數(shù)z1，z2相除時，如圖，把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼腳_____倍，得到向量OZ→，OZ→表示的復數(shù)就是商z1z2.這是復數(shù)除法的幾何意義．

[自主檢測]

1．復數(shù)z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(　　)

A．cos (－25°)＋isin (－25°)

B．sin 75°＋icos 75°

C．cos 15°＋isin 15°

D．cos 75°＋isin 75°

2．計算：3(cos π3＋isin π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)＝_________.(用代數(shù)形式表示)

3．將復數(shù)1＋i對應的向量OM→繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4，得到的向量為OM1→，那么OM1→對應的復數(shù)是________(用代數(shù)形式表示)．

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復數(shù)的三角表示PPT，第三部分內(nèi)容：課堂 • 互動探究

探究一　復數(shù)三角形式的乘法運算

[例1]　計算下列各式：

(1)16(cos4π3＋isin4π3)×4(cos5π6＋isin5π6)；

(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)]

[10(cos 80°＋isin 80° )]；

(3)(－1＋i)[3(cos 7π4＋isin 7π4)] .

[分析]　代入復數(shù)三角形式的乘法法則計算即可．

方法提升

復數(shù)三角形式的乘法運算

(1)直接利用復數(shù)三角形式的乘法法則：模數(shù)相乘，輻角相加．

(2)若遇到復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式混合相乘時，需將相混的復數(shù)統(tǒng)一成代數(shù)形式或三角形式，然后進行復數(shù)的代數(shù)形式相乘或三角形式相乘．

探究二　復數(shù)三角形式的除法運算

[例2]　(1) 計算：

4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)；

(2)已知復數(shù)z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求1z的三角形式．

方法提升

復數(shù)三角形式的除法運算

(1)利用復數(shù)三角形式的除法法則：模數(shù)相除，輻角相減．

(2)一個非零復數(shù)的倒數(shù)，其模是原來復數(shù)的模的倒數(shù)，其輻角是原來復數(shù)輻角的相反數(shù)．

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復數(shù)的三角表示PPT，第四部分內(nèi)容：課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)

數(shù)形結合思想在復數(shù)三角形式的乘除運算中的應用

直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算

復數(shù)的三角形式，就是形的的體現(xiàn)．利用數(shù)形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題，使問題變得簡單、方便．

[典例]　若向量OZ1→與OZ2→分別表示復數(shù)z1＝1＋23i，z2＝7＋3i, 則∠Z2OZ1＝________.

[審題視角]　先作出向量OZ1→與OZ2→，根據(jù)圖形，將∠Z2OZ1轉(zhuǎn)化為復數(shù)z1與z2的輻角的差，再借助復數(shù)除法的幾何意義轉(zhuǎn)化為z1z2的輻角主值．

[素養(yǎng)提升]　本題是復數(shù)與角的大小之間的關系，因此考慮復數(shù)三角形式的乘除運算的幾何意義，需要畫出復數(shù)對應的向量，借助圖形，將∠Z2OZ1轉(zhuǎn)化為復數(shù)z1與z2的輻角的差．利用數(shù)形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題，使問題變得簡單、方便．

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