《復數(shù)的三角表示》復數(shù)PPT課件(復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義)
第一部分內(nèi)容:內(nèi)容標準
1.了解復數(shù)乘、除運算的三角表示.
2.了解復數(shù)乘、除運算的幾何意義.
3.會利用復數(shù)三角形式進行復數(shù)乘、除運算.
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復數(shù)的三角表示PPT,第二部分內(nèi)容:課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識點一 復數(shù)三角形式的乘法、除法法則
預習教材,思考問題
若復數(shù)z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根據(jù)復數(shù)的乘法運算計算z1z2,并將結果表示成三角形式嗎?
知識梳理 設復數(shù)z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2.
知識點二 復數(shù)三角形式的乘法、除法幾何意義
知識梳理 復數(shù)z1,z2對應的向量分別為OZ1→,OZ2→
①復數(shù)乘法的幾何意義:
兩個復數(shù)z1,z2相乘時,如圖,把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0,就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|),再把它的模變?yōu)樵瓉淼腳_____倍,得到向量OZ→,OZ→表示的復數(shù)就是______ .這是復數(shù)乘法的幾何意義.
②復數(shù)除法的幾何意義:
兩個復數(shù)z1,z2相除時,如圖,把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0,就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|),再把它的模變?yōu)樵瓉淼腳_____倍,得到向量OZ→,OZ→表示的復數(shù)就是商z1z2.這是復數(shù)除法的幾何意義.
[自主檢測]
1.復數(shù)z=(cos 25°+isin 25°)(cos 50°+isin 50°)的三角形式是( )
A.cos (-25°)+isin (-25°)
B.sin 75°+icos 75°
C.cos 15°+isin 15°
D.cos 75°+isin 75°
2.計算:3(cos π3+isin π3)÷2(cos 5π6+isin 5π6)=_________.(用代數(shù)形式表示)
3.將復數(shù)1+i對應的向量OM→繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4,得到的向量為OM1→,那么OM1→對應的復數(shù)是________(用代數(shù)形式表示).
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復數(shù)的三角表示PPT,第三部分內(nèi)容:課堂 • 互動探究
探究一 復數(shù)三角形式的乘法運算
[例1] 計算下列各式:
(1)16(cos4π3+isin4π3)×4(cos5π6+isin5π6);
(2) 3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)]
[10(cos 80°+isin 80° )];
(3)(-1+i)[3(cos 7π4+isin 7π4)] .
[分析] 代入復數(shù)三角形式的乘法法則計算即可.
方法提升
復數(shù)三角形式的乘法運算
(1)直接利用復數(shù)三角形式的乘法法則:模數(shù)相乘,輻角相加.
(2)若遇到復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式混合相乘時,需將相混的復數(shù)統(tǒng)一成代數(shù)形式或三角形式,然后進行復數(shù)的代數(shù)形式相乘或三角形式相乘.
探究二 復數(shù)三角形式的除法運算
[例2] (1) 計算:
4(cos 80°+isin 80°)÷2(cos 320°+isin 320°);
(2)已知復數(shù)z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求1z的三角形式.
方法提升
復數(shù)三角形式的除法運算
(1)利用復數(shù)三角形式的除法法則:模數(shù)相除,輻角相減.
(2)一個非零復數(shù)的倒數(shù),其模是原來復數(shù)的模的倒數(shù),其輻角是原來復數(shù)輻角的相反數(shù).
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復數(shù)的三角表示PPT,第四部分內(nèi)容:課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
數(shù)形結合思想在復數(shù)三角形式的乘除運算中的應用
直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算
復數(shù)的三角形式,就是形的的體現(xiàn).利用數(shù)形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題,使問題變得簡單、方便.
[典例] 若向量OZ1→與OZ2→分別表示復數(shù)z1=1+23i,z2=7+3i, 則∠Z2OZ1=________.
[審題視角] 先作出向量OZ1→與OZ2→,根據(jù)圖形,將∠Z2OZ1轉(zhuǎn)化為復數(shù)z1與z2的輻角的差,再借助復數(shù)除法的幾何意義轉(zhuǎn)化為z1z2的輻角主值.
[素養(yǎng)提升] 本題是復數(shù)與角的大小之間的關系,因此考慮復數(shù)三角形式的乘除運算的幾何意義,需要畫出復數(shù)對應的向量,借助圖形,將∠Z2OZ1轉(zhuǎn)化為復數(shù)z1與z2的輻角的差.利用數(shù)形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題,使問題變得簡單、方便.
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