《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》三角函數(shù)PPT(第二課時正、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性)
第一部分內(nèi)容:學習目標
了解周期函數(shù)的概念
理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期性,會求函數(shù)的周期
理解三角函數(shù)的奇偶性以及對稱性,會判斷給定函數(shù)的奇偶性
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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)PPT,第二部分內(nèi)容:自主學習
問題導學
預習教材P201-P203,并思考以下問題:
1.周期函數(shù)的定義是什么?
2.如何利用周期函數(shù)的定義求正、余弦函數(shù)的周期?
3.正、余弦函數(shù)的奇偶性分別是什么?
新知初探
1.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù):對于函數(shù)f(x),如果存在一個______________,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有_________________,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的______,那么這個最小______就叫做f(x)的_____________.
■名師點撥
對周期函數(shù)的兩點說明
(1)并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù),若函數(shù)具有周期性,則其周期也不一定唯一.
(2)如果T是函數(shù)f(x)的一個周期,則nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性
■名師點撥
(1)正、余弦函數(shù)的周期性
①正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的周期性實質(zhì)上是由終邊相同的角具有的周期性所決定的;
②由誘導公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z),cos(x+2kπ)=
cos x(k∈Z)也可以說明它們的周期性.
③函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期T=2πω.
(2)關于正、余弦函數(shù)的奇偶性
①正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù),反映在圖象上,正弦曲線關于原點O對稱,余弦曲線關于y軸對稱;
②正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.
自我檢測
判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若sinπ4+π2=sinπ4,則π2是正弦函數(shù)y=sin x的一個周期.( )
(2)函數(shù)y=sin x,x∈(-π,π]是奇函數(shù).( )
(3)因為sin(2x+2π)=sin 2x,所以函數(shù)y=sin 2x的最小正周期為2π.( )
(4)若T是函數(shù)f(x)的周期,則kT,k∈N*也是函數(shù)f(x)的周期.( )
下列函數(shù)中,最小正周期為4π的是( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=sinx2 D.y=cos 2x
函數(shù)y=2sin2x+π2是( )
A.周期為π的奇函數(shù) B.周期為π的偶函數(shù)
C.周期為2π的奇函數(shù) D.周期為2π的偶函數(shù)
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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)PPT,第三部分內(nèi)容:講練互動
正、余弦函數(shù)的周期問題
求下列三角函數(shù)的最小正周期T:
(1)f(x)=sinx+π3;
(2)f(x)=12cos(2x+π3);
(3)f(x)=|sin x|.
規(guī)律方法
求函數(shù)周期的方法
(1)定義法:緊扣周期函數(shù)的定義,尋求對任意實數(shù)x都滿足f(x+T)=f(x)的非零常數(shù)T.該方法主要適用于抽象函數(shù).
(2)公式法:對形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常數(shù),且A≠0,ω>0)的函數(shù),可利用T=2πω來求.
(3)圖象法:可畫出函數(shù)的圖象,借助于圖象判斷函數(shù)的周期,特別是對于含絕對值的函數(shù)一般采用此法.
跟蹤訓練
1.設函數(shù)f(x)=sin12x-π3,則f(x)的最小正周期為( )
A.π2 B.π
C.2π D.4π
2.設a>0,若函數(shù)y=sin(ax+π)的最小正周期是π,則a=________.
正、余弦函數(shù)的奇偶性問題
判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)=cos2x+5π2;
(2)f(x)=sin(cos x).
規(guī)律方法
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的三個步驟
[注意]與三角函數(shù)相關的奇偶性問題,往往需要先利用誘導公式化簡,再判斷函數(shù)的奇偶性.
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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)PPT,第四部分內(nèi)容:達標反饋
1.設函數(shù)f(x)=sin(2x-π3),則f(x)的最小正周期為( )
A.π2 B.π
C.2π D.4π
2.已知a∈R,函數(shù)f(x)=sin x-|a|,x∈R為奇函數(shù),則a等于________.
3.函數(shù)f(x)=2cos 2x+1的圖象關于________對稱(填“原點”或“y軸”).
4.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=sin3x4+3π2;
(2)f(x)=sin |x|;
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